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Isomorfismo

Por que no me gusta dejar las cosas a medias... y mira que suelo dejar cosas a medias

Sea entonces un conjunto con elementos (los conjuntos sin elementos no tienen chiste para estas cosas aunque también cumplen las propiedades), o mejor dos conjuntos con elementos.

Sea también una transformación, o bueno, para la banda, una función que lleva elementos de uno de estos conjuntos al otro bajo cierta regla especial. Por ejemplo, podríamos definir el conjunto de todas las sillas con respaldo, y el conjunto de todos los bancos (obsérvese que los bancos no tienen respaldo), y definir la operación quitar-respaldo que relaciona las sillas con los bancos; cuando aplicas la operación a una silla obtenemos un banco, es decir, un elemento del segundo conjunto.

Una silla y un banco

Con esto ya tenemos dos conjuntos distintos y una operación que los relaciona. Ahora bien, falta definir una operación dentro de de nuestros conjuntos, por ejemplo, y abstrayendo un poco nuestras concepciones, podemos definir la operación pegar que relaciona dos sillas y nos da una tercera (se trata de una operación binaria cerrada) por medio de una unión en la que se pone a la primera silla frente a nosotros, a la segunda a su derecha, y las pegamos por sus costados. Denótese que A se pegó a B como AB.

Representación de un isomorfismo.

Para fines de esta explicación conviene pensar en sillas de materia y de antimateria (me parece apropiado), de modo que por cada silla de materia hay una silla de antimateria que al pegarse con su silla correspondiente se aniquila, quedando la silla nula (una hermosa silla de aire donde uno realmente no podría sentarse, pero conviene pensar que existe). Ahora bien, nuestro conjunto de sillas de madera y antimadera, junto con la operación pegar cumplen algunas propuiedades:

Sean A, B y C sillas.

  • Existe la silla nula o neutra (equivale a sentarse en el piso). Llamémosla N

  • Si pegamos A y B, y luego a AB le pegamos C, es lo mismo que pegar A con BC.

    • (AB)C = A(BC)
  • Para toda silla A existe una silla B tal que AB = N.

Dicho esto decimos que el conjunto de las sillas de madera y antimadera junto con la operación pegar forman un grupo.

Queda del lector mostrar que el conjunto de los bancos de madera y antimadera con la misma operación forman también un grupo.

Luego, regresando a nuestra transformación Qr quitar-respaldo. Observamos que se cumplen un par de propiedades:

  1. La transformación aplicada a la silla nula nos da el banco nulo (igual te quedas sentad@ en el piso)
  2. La transformación aplicada a dos sillas pegadas nos da dos bancos pegados, es decir, si aplicamos la transformación a una silla que es producto de pegar dos sillas obtenemos un banco que es producto de pegar los dos bancos correspondientes a transformas las sillas originales. En símbolos: Siendo A y B sillas, a y b bancos tales que Qr(A) = a y Qr(B) = b, tenemos que Qr(AB) = ab.

Eso quiere decir que nuestra operación quitar respaldo es un homomorfismo entre las sillas y los bancos.

Adicionalmente si consideramos que:

  1. a todas las sillas se les puede quitar el respaldo. axioma
  2. todos los bancos son resultado de quitarle el respaldo a una silla. Qr es sobreyectiva
  3. Quitar el respaldo de una silla nos da uno y solo un banco posible. Qr es inyectiva

Entonces nuestra transformación será biyectiva y por lo tanto no solo es un homomorfismo, sino que se trata de un isomorfismo y nos dice que es matemáticamente igual tener una silla que un banco =).

O al menos eso parece...